sábado, 31 de julio de 2010

ÁNGULOS EN EL ESPACIO

INTERSECCIÓN DE PLANOS


Dados dos planos distintos, si tiene un punto en común, entonces tiene una recta en común y solo una.





Demostración:


Sea Q un punto perteneciente a la intersección de ambos planos, entonces por el Axioma 1 como P y Q pertenecen al plano alfa, entonces la recta que determinan está incluida en dicho plano, pero P y Q también pertenecen al plano beta, por lo tanto la recta PQ también está incluida en beta, luego la recta PQ está en la intersección. Si se traza por Q una recta r contenida en beta, es posible hallar A perteneciente a r y distinto de Q y otro B perteneciente a beta y no perteneciente a r.
Tomamos un tercer punto C perteneciente a beta y no perteneciente a r.
Si C pertenece a alfa, entonces C es P (C está en la intersección). Si C no pertenece a alfa, entonces puede suceder:
1- C pertenezca al semiplano respecto de alfa que contiene a A, en cuyo caso C y B pertenecen a distinto semiespacio.
2- C pertenezca al semiplano respecto de alfa, que contiene a B, en cuyo caso C y A pertenecen a distinto semiespacio.
Pero solo es esta recta?
Supongamos que existe r incluida en la intersección y R no perteneciente a PQ, entonces P,Q y R no alineados pertenecen a alfa y pertenecen a beta, luego como tres puntos determinan un único plano, deberán coincidir.


Definimos ÁNGULO DIEDRO: Dados dos planos distintos que se intersecan en r, llamamos ángulo diedro al conjunto de los puntos comunes a los semiespacios limitados por dichos planos.

La recta r se llama arista del diedro y los semiplanos caras del diedro.




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