CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

Los ángulos pueden clasificarse según su amplitud en:

ÁNGULO CONVEXO: mide más de 0º y menos de 180º sexagesimales.

A su vez éstos pueden ser:

ÁNGULO NULO: es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su apertura es nula, o sea 0º

ÁNGULO AGUDO: es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0º y menor de 90º.

ÁNGULO RECTO: un ángulo recto es de amplitud igual a 2 radianes, es equivalente a 90º sexagesimales.

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre si.

La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

ÁNGULO OBTUSO: un ángulo obtuso es áquel cuya amplitud es mayor a 90º y menor a 180º.

ÁNGULO LLANO: el ángulo llano tiene una amplitud de 180º sexagesimales.

También es conocido como ángulo extendido.

ÁNGULO CÓNCAVO: Es el que mide más de 180º y menos de 360º sexagesimales.

ÁNGULO COMPLETO O PERIGONAL: tiene una amplitud equivalente a 360º

En un plano dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitu).

ÁNGULOS CONSECUTIVOS

Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado en común y ningún otro punto en común.

aôc y dôc son consecutivos

oc es el lado común

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Y COMPLEMENTARIOS

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es un ángulo llano, es decir 180º.

Para obtener el ángulo suplementario de alfa, que tiene una amplitud de 120º, se debe restar alfa de 180º.


Por lo tanto la amplitud de beta será de 60º.

PROPIEDAD:
Si dos ángulos son suplementarios de otros dos ángulos congruentes, también son congruentes entre sí.


ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto, es decir 90º.



Para obtener el ángulo complementario de alfa que tiene una amplitud de 40º, se restara alfa de 90º.
Por lo tanto su amplitud será de 50º.

ÁNGULOS ADYACENTES

Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado común y sus otros dos lados son semirrectas opuestas.

aôc y bôc son adyacentes

oc: lado común

oa y ob: semirrectas opuestas

Teniendo en cuenta que los lados no comunes de los ángulos adyacentes son semirrectas opuestas, la suma de ellos es un ángulo llano.

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Los vértices de ambos ángulos son comunes y sus lados están en un par de rectas que se cortan en un vértice común, pero no poseen ningún punto interior común.

aôd y bôc son opuestos por el vértice, dado que oa y oc son semirrectas opuestas y od y ob son semirrectas opuestas.

TEOREMA: "Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes"

Demostración:

Probaremos â = c, es decir que tienen la misma medida.

Siendo a y c dos ángulos opuestos por el vértice y b un ángulo adyacente y suplementario de los dos, tenemos:

a + b = 180º

c + b = 180º , por ser suplementarios

Luego, a + b = c + b; entonces a = c

Corolario: las bicectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas.

ÁNGULOS EN EL ESPACIO

INTERSECCIÓN DE PLANOS

Dados dos planos distintos, si tiene un punto en común, entonces tiene una recta en común y solo una.

Demostración:

Sea Q un punto perteneciente a la intersección de ambos planos, entonces por el Axioma 1 como P y Q pertenecen al plano alfa, entonces la recta que determinan está incluida en dicho plano, pero P y Q también pertenecen al plano beta, por lo tanto la recta PQ también está incluida en beta, luego la recta PQ está en la intersección. Si se traza por Q una recta r contenida en beta, es posible hallar A perteneciente a r y distinto de Q y otro B perteneciente a beta y no perteneciente a r.

Tomamos un tercer punto C perteneciente a beta y no perteneciente a r.

Si C pertenece a alfa, entonces C es P (C está en la intersección). Si C no pertenece a alfa, entonces puede suceder:

1- C pertenezca al semiplano respecto de alfa que contiene a A, en cuyo caso C y B pertenecen a distinto semiespacio.

2- C pertenezca al semiplano respecto de alfa, que contiene a B, en cuyo caso C y A pertenecen a distinto semiespacio.

Pero solo es esta recta?

Supongamos que existe r incluida en la intersección y R no perteneciente a PQ, entonces P,Q y R no alineados pertenecen a alfa y pertenecen a beta, luego como tres puntos determinan un único plano, deberán coincidir.

Definimos ÁNGULO DIEDRO: Dados dos planos distintos que se intersecan en r, llamamos ángulo diedro al conjunto de los puntos comunes a los semiespacios limitados por dichos planos.

La recta r se llama arista del diedro y los semiplanos caras del diedro.

ÁNGULO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA

ARCO CAPAZ: Los cuatro ángulos inscriptos determinan el mismo arco y por lo tanto son iguales. Un ángulo, respecto de una circunferencia puede ser:

Ángulo Central: Si tiene su vértice en el centro de ésta. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo Inscripto: si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos. La amplitud de un ángulo inscripto es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo Semi-Inscripto: si su vértice está sobre ésta, uno de los lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice. La amplitud de un ángulo semi-inscripto es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo Interior: Si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo Exterior: Si tiene su vértice en el exterior de ésta. La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

A través de los títulos podemos acceder a simuladores del proyecto Descartes.